X^2+X+3/X的最小值问题详细过程

若x>0，则式子x²+x+3/x有最小值；若x<0，则式子x²+x+3/x没有最小值

当x>0时，由均值不等式知
x²+x+3/x
=x²+x+1/x+1/x+1/x
≥5×[5次根号(x²x(1/x)(1/x)(1/x))]
=5
当x²=x=1/x，x=1时取等号
即式子x²+x+3/x在x=1时取最小值5

若代数式是(x^2+x+3)/x,则一种解法如下：
解法一（运用二次均值不等式）：设y=(x^2+x+3)/x=x+(3/x)+1,x属于非零实数集.
当x>0时，y=x+(3/x)+1>=2*[根号下(x*3/x)]+1=1+2*根号3
当x<0时，因为(-x)+(3/-x)>=2*[根号下(-x*3/-x)=2*根号3，所以
x+(3/x)<=-2*根号3，此时y<=1-2*根号3.
综上，当x>0时函数的极小值为1+2*根号3；当x<0时函数的极大值为1-1-2*根号3;函数在其定义域上无最小，大值.

既然你不要均值不等式，那我给你另一个解法。
y=(x^2-2x+1)+3(x+1/x-2)+5=(x-1)^2+3(√x -1/√x )^2+5≥5